Desvendando o Algoritmo de Dijkstra: Um Guia de Operação e Exemplo Real para iniciantes”.

Introdução ao problema do caminho mais curto

O problema do caminho mais curto é um problema clássico da teoria dos grafos, que consiste em encontrar o caminho mais curto entre dois vértices de um grafo ponderado. Um gráfico é uma estrutura matemática composta de nós (ou vértices) conectados por arestas (ou links). Os gráficos podem ser direcionados ou não, dependendo se as arestas têm direção ou não. Em um gráfico ponderado, cada aresta possui um valor denominado peso, que normalmente representa a distância ou custo associado a essa conexão.

Algoritmo de Dijkstra

O algoritmo de Dijkstra, inventado por Edsger W. Dijkstra em 1956, é uma das soluções mais conhecidas para este problema. Este é um algoritmo ganancioso que constrói progressivamente um subgrafo contendo as distâncias mínimas de um vértice de origem a todos os outros vértices do gráfico.

Para entender como esse algoritmo funciona, usaremos um exemplo concreto envolvendo cidades como nós e distâncias rodoviárias como pesos.

Exemplo prático: rede rodoviária entre cidades

Imaginemos que temos a seguinte rede rodoviária:

• Cidade A: ponto de origem
• Cidade B: distância de 10 km de A
• Cidade C: distância 20 km de A, 5 km de B
• Cidade D: distância 30 km de A, 15 km de B, 10 km de C

Etapas do algoritmo de Dijkstra

O algoritmo de Dijkstra segue os seguintes passos:

1. Inicialização: a cada vértice é atribuído um valor provisório correspondente à distância entre este vértice e o ponto de origem. Para o ponto de origem, esse valor é zero. Para todos os outros vértices, é infinito.
2. Seleção do nó não visitado com menor valor provisório (escolhemos inicialmente o ponto de origem).
3. Para cada vizinho do nó selecionado:
   1. Calcule a nova distância que passa pelo nó selecionado.
   2. Atualize o valor provisório se esta nova distância for menor que a antiga.
4. Marque o nó selecionado como visitado.
5. Repita as etapas 2 a 4 até que todos os nós sejam visitados ou o destino desejado seja alcançado.

Ilustração das etapas com nosso exemplo concreto

No nosso exemplo, procuramos o caminho mais curto entre a cidade A (ponto de origem) e a cidade D (destino). Veja como funciona o algoritmo de Dijkstra:

Etapa 1: inicialização